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ALBERT EINSTEIN

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  • En medio de la dificultad yace la oportunidad.
  • No te preocupes por tus dificultades en matemáticas. Te puedo asegurar que las mías son mayores.

ALEJANDRO JODOROWSKY

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  • Para un verdadero artista, las dificultades se convierten en oportunidades y las nubes se vuelven presentes.

ALEX ROVIRA

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  • Una gran parte de la dificultad la crea el miedo.

ANONIMO

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  • Cuánto más se concentre uno en sí mismo y más se desligue de lo exterior, más y mayores cosas entenderá sin dificultad,porque recibe de lo alto la luz de la inteligencia.

ANSELM GRÜN

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  • El arte de la vida es sentir la alegría indestructible dentro de las dificultades de la vida.

ARTHUR SCHOPENHAUER

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  • Para superar las dificultades es necesario experimentar el deleite completo de la existencia.

BODHIDHARMA

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  • Según los sutras, las malas acciones dan lugar a dificultades y las buenas acciones dan lugar a bendiciones.

DALAI LAMA

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  • Hay un dicho en tibetano, “la tragedia debe ser utilizada como una fuente de fortaleza”. No importa qué tipo de dificultades pasemos, cómo de dolorosa es la experiencia, si perdemos nuestra esperanza, ese es nuestro verdadero desastre.

DANIEL GOLEMAN

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  • La inteligencia académica no ofrece la menor preparación para la multitud de dificultades –o de oportunidades– a la que deberemos enfrentarnos a lo largo de nuestra vida
  • La esperanza significa que uno no se rinde a la ansiedad, el derrotismo o la depresión cuando tropieza con dificultades y contratiempos.
  • La inteligencia académica no ofrece la menor preparación para la multitud de dificultades –o de oportunidades– a la que deberemos enfrentarnos a lo largo de nuestra vida.

DAVID BORNSTEIN

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  • A pesar de las dificultades de la vida, los revolucionarios saben cuál es su propósito de vida y siguen hacia adelante. Saben que sus acciones están preparando el camino para un mejor futuro.

DONALD TRUMP

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  • Nos enfrentaremos a retos, nos enfrentaremos a dificultades. Pero conseguiremos realizar el trabajo.

EL URANTIA

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  • La valentía — la fuerza de carácter — ¿es deseable? Entonces el hombre debe educarse en un entorno donde sea necesario luchar contra las dificultades y reaccionar ante las decepciones.

EMMET FOX

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  • Lo único que debemos hacer para aplicar la llave de oro es: dejar de pensar en la dificultad, y en su lugar pensar en dios. El amor todo lo puede.

EPICURO

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  • Cuanto mayor es la dificultad, mayor gloria en superarla.

ERICH FROMM

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  • Aceptar las dificultades, los contratiempos y las tragedias de la vida como un desafío que, al superarlo, nos hace más fuertes.

GEORGE SANTAYANA

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  • La gran dificultad en la educación es conseguir experiencia fuera de ideas.

GEORGE WASHINGTON

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  • El valor de la libertad se mejoró así en nuestra estimación por la dificultad de su consecución, y el valor de los personajes apreciados por el juicio de la adversidad.

JACK KORNFIELD

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  • Emprender un auténtico camino espiritual no es eludir dificultades, sino aprender con atención del arte del error, y someter las equivocaciones al poder transformador de nuestro corazón.

JOHANN W GOETHE

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  • Las dificultades aumentan conforme se aproxima uno al fin.

JOSÉ LUIS PADILLA

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  • Debemos tener consciencia de las severas dificultades por las que atraviesa la educación en todos los países. Una educación diseñada para preparar adultos adulterados.

JUDAS

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  • No señales los errores de los que están a tu alrededor, que esos no te corresponde arreglarlos, concentra tu mirada en tus propias dificultades y defectos, porque mirar hacia afuera puede desviarte del camino.

LOUISE HAY

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  • Tengo la autoestima, el poder y la confianza suficientes para avanzar en la vida sin dificultad.

MAHATMA GANDHI

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  • La tarea que enfrentan los devotos de la no violencia es muy difícil, pero ninguna dificultad puede abatir a los hombres que tienen fe en su misión.

MAHOMA

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  • Al lado de la dificultad está la felicidad.

MAQUIAVELO

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  • Donde la voluntad es grande, las dificultades no pueden ser grandes.
  • 4-No puede haber grandes dificultades donde abunda la buena voluntad.

MARCO TULIO CICERON

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  • Cuanto mayor es la dificultad, mayor es la gloria.

MARTIN LUTHER KING

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  • Les digo hoy hermanos, amigos, que a pesar de que enfrentamos no sólo las dificultades de hoy, sino también las de mañana; yo aún tengo un sueño.

OMRAAM MIKHAEL

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  • Debemos agradecer porque no hay nada más eficaz que ser agradecido. Y aun en lo malo… porque sin las dificultades, quedamos ignorantes y miserables.

OUSPENSKY

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  • El hombre no se conoce, no conoce sus límites ni posibilidades, no conoce ni siquiera hasta qué punto no se conoce. Nada puede conseguirse sin dificultad.
  • La gente no sabe valorar lo que llega sin dificultad.
  • La mayor dificultad está en saber realmente lo que conocemos y lo que desconocemos.

PATROCINIO NAVARRO

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  • Uno de los supuestos logros de la contemporaneidad es este de los derechos humanos, famosos por su dificultad en ser aplicados. Y digo supuestos.

PITAGORAS

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  • Educar no es dar carrera para vivir, sino templar el alma para las dificultades de la vida.

SABIDURIA SAMURAI

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  • Cuando te encuentres con dificultades, es vital que sigas avanzando audaz y alegremente.
  • Con la prudencia seréis presos de dudas y tendréis muchas dificultades para tomar una decisión definitiva.
  • Si estáis tratando de resolver un problema del que sois un experto, cuanta mayor sea la dificultad del problema, más se agudizarán y aumentarán vuestros talentos.

SADHU ARUNACHALA

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  • El advaita no es lo mismo que lo que se suele entender por monismo, y tampoco constituye un eslogan para evitar dificultades.

SARADA DEVI

MAS FRASES DE SARADA DEVI

  • Usted ve, hijo mío, no es un hecho que usted nunca se enfrentará a los peligros. Las dificultades siempre vienen, pero no duran para siempre. Verás que fallecen como el agua bajo un puente.
  • Ora a Dios con lágrimas en los ojos cuando quieras iluminación o te encuentras frente a cualquier duda o dificultad. El Señor eliminará todas vuestras impurezas, aplacará vuestra angustia mental y os dará iluminación.
  • Verás, hijo mío, no es un hecho que nunca enfrentarás peligro. Las dificultades siempre vienen, pero no duran para siempre. Verás que fallecen como agua bajo un puente.

SHERLOCK HOLMES

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  • Antes de pasar a los aspectos morales y mentales de la materia que presentan las mayores dificultades, que el investigador comience por dominar problemas más elementales.
  • Preferiría que no mencionaras mi nombre en absoluto en relación con este caso, ya que elijo estar sólo asociado con aquellos crímenes que presentan alguna dificultad en su solución.

SILVIA ALAVA

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  • Al igual que les pasa a los niños que tienen dificultades para dormirse, el problema del conejito Carlos, es que está convencido que no puede dormir.

SOCRATES

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  • La dificultad, amigos míos, no está en evitar la muerte, sino en evitar la injusticia, que se ejecuta más rápido que la muerte.

SRI CHINMOY

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  • Sin duda triunfaremos en la vida, si consideramos cada dificultad externa como una oportunidad.

STEVE TAYLOR

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  • No vivo en un estado de éxtasis permanente, pero siento dentro de mí un estado de bienestar al que regreso con facilidad, aunque atraviese dificultades.

TERESA DE CALCUTA

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  • Nuestro examen de conciencia es el espejo en el que vemos nuestros logros y nuestras dificultades. Por eso debemos afrontarlo con sinceridad y amor.

THICH NHAT HANH

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  • La esperanza es importante porque puede hacer el momento presente menos difícil de superar. Si podemos creer que el mañana serán mejor, podemos superar las dificultades de hoy.
  • La llave que abre la puerta del amor y la compasión es nuestra capacidad para comprender nuestros propios sufrimientos y dificultades y de los demás.
  • Si somos capaces de observar y comprender nuestro padecimiento, observaremos y comprenderemos con facilidad las dificultades de otras personas.

THOMAS ALVA EDISON

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  • Nuestras escuelas no están enseñando a los estudiantes a pensar. Es sorprendente cómo muchos jóvenes tienen dificultades para poner sus cerebros definitivamente y sistemáticamente a trabajar.

TONY PARSONS

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  • La dificultad para el buscador es que cree que tiene que hacer algo con respecto a su estado o que tiene que estar en otro estado que le libere del estado en el que cree estar.
  • La dificultad reside en que, siendo buscadores, la energía de la búsqueda nos empuja a sentirnos atraídos por la idea de que alguien ha encontrado algo que nosotros podríamos encontrar, porque crecemos creyendo que el esfuerzo reporta resultados.

WINSTON CHURCHILL

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  • Las dificultadas vencidas son oportunidades ganadas.
  • Un pesimista ve dificultades en cada oportunidad; un optimista ve oportunidades en toda dificultad.

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LAS PARADOJAS SON DIFICULTADES DE NATURALEZA

JBN

PARADOJA - PARADOXOS

El nombre de paradoja procede del griego "paradoxos".

La historia del pensamiento matemático está llena de dificultades de naturaleza lógica que reciben el nombre de paradojas. El nombre de paradoja procede del griego "paradoxos" y etimológicamente significa "término que contradice la opinión común"; se refiere a aseveraciones en neta contradicción con el sentido común o con los principios de la lógica, que, como tales, sorprenden y divierten. Muchos podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos del ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber cómo se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás cómo hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Paradoja del abuelo o paradoja del viaje en el tiempo

La máquina del tiempo, de H. G. Wells

Esta paradoja parte del supuesto de que la persona que realiza el viaje en el tiempo (viaje al pasado) mata al padre de su padre (a su abuelo) antes de que este conociera a su abuela y pudieran concebir. En este supuesto, el viajero no mecerá nunca, por lo que no podrá realizar el viaje en el tiempo y no podrá matar a su abuelo.

En la película de 2002 basada en la novela La máquina del tiempo, de H. G. Wells (en la novela original este suceso no aparece), se sugiere que los actos que ocurren en el universo son inevitables y suceden en todas sus líneas temporales. Así, la mujer del protagonista muere de muchas maneras diferentes en cada uno de los viajes al pasado de éste.

En el año 2029, Skynet, la maquina malvada que odia a los humanos y quiere aniquilarlos, envía al pasado, más concretamente al año 1985, un exterminador para asesinar a Sarah Connor, madre de John Connor, líder de la resistencia en el año 2029; matando a la madre el hijo no pude nacer. La resistencia envía para proteger a Sarah al sargento Riks, el cual se enamora de Sarah y la fecunda.

La paradoja es si Skynet no envía al terminador, la resistencia no enviaría a riks, por lo cual John no nacería al carecer de padre. Pero la historia se complica con la segunda parte t-2 judment day, ya que el joven John y su madre destruyen el proyecto Skynet. Por lo cual, si Skynet no existe en el futuro la resistencia no enviaría a riks y John no nacería, al no nacer Sarah Connor no tendría conocimiento del proyecto Skynet, Skynet no sería destruido, no enviaría al exterminador a mater a Sarah Connor, la resistencia a riks y así sucesivamente.

Paradoja de la clasificación

Una muy conocida paradoja lógica es esta que expongo a continuación:

Se toman a todas las personas del mundo, y se las clasifica en interesantes y no interesantes. En la lista de no interesantes debe estar la persona menos interesante del mundo. Sin embargo, este hecho ya la hace interesante, por lo que hay que pasarla a la lista de personas interesantes. Ahora, habrá otra persona que será la menos interesante del mundo, por lo que se repite el proceso. De esta forma, al final todas las personas pasan a la lista de personas interesantes, quedando la lista de personas no interesantes vacía. Por tanto, todas las personas del mundo son interesantes.

Esta es una divertida paradoja derivada de otra paradoja de Edwin F. Bechenbach, que demostraba que todo número entero positivo es interesante.

¿Que ocurriría si en vez de buscar a la persona menos interesante en la lista de no interesantes, buscásemos a la persona más interesante de la lista de interesantes? Las listas quedarían como están. La paradoja se presenta cuando se busca en la lista de no interesantes. Se puede utilizar cualquier criterio, y la paradoja se presenta.

La predicción de swami

Podrá un swami ver el futuro a través de su bola de cristal? La predicción del futuro puede llevarnos a un nuevo y curioso tipo de paradojas lógicas.

Un día, el swami tuvo una discusión con su hija Sue, una adolescente.

Sue: Mira Papá, sólo eres un engañabobos. La verdad es que no puedes predecir el futuro.

Swami: ¡Claro que puedo!

Sue: ¡Qué vas a poder!. ¡Yo te lo demostraré!

Sue anotó algo en un papel, lo dobló, y lo pisó con la bola.

Sue: Ahí tienes descrito un acontecimiento que podrá suceder antes de las tres de la tarde. Si eres capaz de predecir si ocurrirá, no tendrás que comprarme el coche que me prometiste si aprobaba todo. Toma esta ficha en blanco y escribe SÍ si crees que el acontecimiento va a suceder. Escribe NO si no crees que va a ocurrir. Si tu predicción es equivocada, ¿estarás de acuerdo en comprarme el coche ahora, y no al final de curso?.

Swami: De acuerdo, Sue. Trato hecho.

El swami escribió algo en la ficha. A las tres en punto, Sue sacó el papel de debajo de la bola y leyó en voz alta: "Antes de las tres de la tarde escribirá NO en la tarjeta".

Swami: ¡Eso es trampa!, Yo he escrito sí y me equivoqué. Pero si hubiera escrito NO también habría perdido. No puedo acertar de ninguna forma.

Sue: Papi, me gustaría un deportivo rojo. ¡Y con asientos anatómicos!

La paradoja del Quijote

En la novela Don Quijote se nos cuenta de una isla donde regía una curiosa ley.

Un guardia pregunta a cada visitante:

Guardia: ¿Para qué viene usted aquí?

Si el viajero contesta con verdad, todo va bien. Pero si dice mentida es ahorcado allí mismo.

Un día, un visitante contestó:

Visitante: ¡He venido aquí para ser ahorcado!

Los guardias quedaron perplejos como el cocodrilo. Si no ahorcasen al sujeto, este habría mentido, y por ello debería ser ahorcado. Pero si lo ahorcan, habrá dicho la verdad, y no debería se ajusticiado.

Para decidir la cuestión, el visitante fue llevado ante el gobernador de la isla. Tras pensarlo largamente, el gobernados tomó una resolución:

Gobernador: Decida lo que decida tendré que vulnerar la ley. Así pues, seré clemente y dejaré a este inocente.

La paradoja queda oscurecida por la ambigüedad de la declaración del visitante. En efecto, ¿está manifestando su intención, o está hablando de un suceso futuro?. En el primer sentido, el hombre pudo haber dicho la verdad respecto a su intención, y las autoridades podrían no ahorcarlo sin contradecir la ley. Por otra parte, tomada su afirmación en el segundo sentido, cualquier cosa que hagan las autoridades será una contradicción.

Las paradojas de Zenón

Los antiguos griegos idearon muchas paradojas concernientes al tiempo y al movimiento.

Jugando con el significado equívoco de conceptos como el infinito y el infinito, Zenón de Elea, que vivió aproximadamente entre el 495 y el 435 a. de C. formuló algunas paradojas, una de las más famosas fue la propuesta por Zenón acerca de un corredor.

La paradoja de la dicotomía

La bipartición de las distancias.

El corredor de Zenón razonaba así:

Corredor: Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. ¡Nunca podré alcanzar la meta!

Para poner un ejemplo más concreto del razonamiento de Zenón, supongamos que un corredor de maratón A tenga que recorrer la distancia BC, sometida a un número infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; ésta es, evidentemente, una suposición absurda porque ¡no es posible recorrer un espacio compuesto de elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento es imposible, aunque la experiencia común nos diga lo contrario.

La paradoja de Aquiles

Pies ligeros y la tortuga.

Otra famosa paradoja ideada por Zenón es la paradoja de Aquiles. En este caso el guerrero quería alcanzar a una tortuga distante 1 Km.

Cuando Aquiles llega al lugar que ocupaba la tortuga, ésta ha avanzado 10 metros más. Pero cuando Aquiles recorre estos 10 metros, la tortuga ha vuelto a avanzar un poco más.

Tortuga: Nunca podrás cogerme, viejo. ¡Cada vez que llegues al último lugar donde estuve, yo estaré siempre un poco más adelante, aunque sea la mitad de un pelo!.

Zenón sabía, desde luego, que Aquiles podía alcanzar a la tortuga. Lo que hacía era, simplemente, hacer ver las paradójicas consecuencias de imaginar el espacio y el tiempo formados por una sucesión infinita de puntos e instantes individuales consecutivos, como las cuentas de un collar.

La paradoja de la flecha

El argumento es el de la flecha.

La flecha ocupa siempre un espacio determinado y, como tal, está siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse mover debería estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma de estados no da movimiento. Por consiguiente ¡El movimiento es imposible!

La paradoja del estadio

Tal vez, es la más difícil de exponer.

Dos filas de igual numero de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado B recorre un espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre cuatro soldados B. Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habíamos dicho que la velocidad era la misma.

A A A A
B B B B ----->
<------ C C C C

Regresión infinita

  • ¿Qué fue antes, el huevo o la gallina?
  • ¿La gallina? No, pues tuvo que hacer un huevo empollando.
  • ¿El huevo? No, una gallina tuvo que poner antes el huevo.

La clásica paradoja del huevo y la gallina es seguramente el más conocido ejemplo de regresión infinita como se la conoce en lógica. Jonathan Swift describió en un poema una regresión infinita de pulgas, poema que el matemático August de Morgan recompuso así:

Las pulgas grandes
a lomos cargan pulguitas,
quienes las pican.
Y las pulguitas
transportan a otras menores,
al infinitum.

Y las más grandes van a su vez
a cuestas de otras mayores,
y éstas,
aún cabalgan sobre otras,
y así una vez y otra.

Una pregunta, concerniente a la regresión infinita, que seguramente no costará de contestar es:

  • ¿Es nuestro universo, en su continua expansión, todo cuanto existe, o es sólo parte de un sistema más vasto todavía, del que nada sabemos?

Paradoja del cartero o de Russell

Vulgarización de la famosa paradoja de Russell.

Dentro del grupo de paradojas lógicas nos encontraos esta conocida paradoja del tipo "Si sí, entonces no; si no, entonces sí" y constituye una vulgarización de la famosa paradoja de Russell.

Es el caso de un cartero y un barbero de una cierta pequeña ciudad. El cartero tiene la misión de llevar el correo a aquellos que no lo retiren por sí mismos de Correos; de la misma forma, el único barbero existente tiene la misión de afeitar a todos los vecinos de la villa que no se afeiten a sí mismos..

Un buen día, el barbero le dice al cartero: - Por disposición municipal yo puedo afeitar a aquellos habitantes que no se afeiten por sí mismos, por lo que tengo un problema conmigo mismo: si me afeito a mi mismo, entonces, respetando la decisión municipal, no puedo afeitarme, pero si no me afeito sí que puedo afeitarme. Pero si me afeito... En resumen, no se si afeitarme o no.

- Mi situación es aún más complicada - respondió el cartero -Yo solo puedo llevar las cartas a aquellos que no van a la oficina de correos a recogerlas. Y entonces, ¿Qué tengo que hacer con la correspondencia dirigida a mi mismo? Si soy yo mismo el que la retiro, entonces se supone que no me la puedo entregar. Pero si no la retiro, se supone que sí me la puedo entregar.

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