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PARADOJAS

JBN

10/15/2016

CATEGORIA: Conocimientos

La historia del pensamiento matemático está llena de dificultades de naturaleza lógica que reciben el nombre de paradojas. El nombre de paradoja procede del griego "paradoxos" y etimológicamente significa "término que contradice la opinión común"; se refiere a aseveraciones en neta contradicción con el sentido común o con los principios de la lógica, que, como tales, sorprenden y divierten. Muchos podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos del ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber cómo se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás cómo hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Paradoja del abuelo o paradoja del viaje en el tiempo

Esta paradoja parte del supuesto de que la persona que realiza el viaje en el tiempo (viaje al pasado) mata al padre de su padre (a su abuelo) antes de que este conociera a su abuela y pudieran concebir. En este supuesto, el viajero no mecerá nunca, por lo que no podrá realizar el viaje en el tiempo y no podrá matar a su abuelo.

En la película de 2002 basada en la novela La máquina del tiempo, de H. G. Wells (en la novela original este suceso no aparece), se sugiere que los actos que ocurren en el universo son inevitables y suceden en todas sus líneas temporales. Así, la mujer del protagonista muere de muchas maneras diferentes en cada uno de los viajes al pasado de éste.

En el año 2029, Skynet, la maquina malvada que odia a los humanos y quiere aniquilarlos, envía al pasado, más concretamente al año 1985, un exterminador para asesinar a Sarah Connor, madre de John Connor, líder de la resistencia en el año 2029; matando a la madre el hijo no pude nacer. La resistencia envía para proteger a Sarah al sargento Riks, el cual se enamora de Sarah y la fecunda.

La paradoja es si Skynet no envía al terminador, la resistencia no enviaría a riks, por lo cual John no nacería al carecer de padre. Pero la historia se complica con la segunda parte t-2 judment day, ya que el joven John y su madre destruyen el proyecto Skynet. Por lo cual, si Skynet no existe en el futuro la resistencia no enviaría a riks y John no nacería, al no nacer Sarah Connor no tendría conocimiento del proyecto Skynet, Skynet no sería destruido, no enviaría al exterminador a mater a Sarah Connor, la resistencia a riks y así sucesivamente.

Paradoja de la clasificación

Una muy conocida paradoja lógica es esta que expongo a continuación:

Se toman a todas las personas del mundo, y se las clasifica en interesantes y no interesantes. En la lista de no interesantes debe estar la persona menos interesante del mundo. Sin embargo, este hecho ya la hace interesante, por lo que hay que pasarla a la lista de personas interesantes. Ahora, habrá otra persona que será la menos interesante del mundo, por lo que se repite el proceso. De esta forma, al final todas las personas pasan a la lista de personas interesantes, quedando la lista de personas no interesantes vacía. Por tanto, todas las personas del mundo son interesantes.

Esta es una divertida paradoja derivada de otra paradoja de Edwin F. Bechenbach, que demostraba que todo número entero positivo es interesante.

¿Que ocurriría si en vez de buscar a la persona menos interesante en la lista de no interesantes, buscásemos a la persona más interesante de la lista de interesantes? Las listas quedarían como están. La paradoja se presenta cuando se busca en la lista de no interesantes. Se puede utilizar cualquier criterio, y la paradoja se presenta.

La predicción de swami

Podrá un swami ver el futuro a través de su bola de cristal? La predicción del futuro puede llevarnos a un nuevo y curioso tipo de paradojas lógicas.

Un día, el swami tuvo una discusión con su hija Sue, una adolescente.

Sue: Mira Papá, sólo eres un engañabobos. La verdad es que no puedes predecir el futuro.

Swami: ¡Claro que puedo!

Sue: ¡Qué vas a poder!. ¡Yo te lo demostraré!

Sue anotó algo en un papel, lo dobló, y lo pisó con la bola.

Sue: Ahí tienes descrito un acontecimiento que podrá suceder antes de las tres de la tarde. Si eres capaz de predecir si ocurrirá, no tendrás que comprarme el coche que me prometiste si aprobaba todo. Toma esta ficha en blanco y escribe SÍ si crees que el acontecimiento va a suceder. Escribe NO si no crees que va a ocurrir. Si tu predicción es equivocada, ¿estarás de acuerdo en comprarme el coche ahora, y no al final de curso?.

Swami: De acuerdo, Sue. Trato hecho.

El swami escribió algo en la ficha. A las tres en punto, Sue sacó el papel de debajo de la bola y leyó en voz alta: "Antes de las tres de la tarde escribirá NO en la tarjeta".

Swami: ¡Eso es trampa!, Yo he escrito sí y me equivoqué. Pero si hubiera escrito NO también habría perdido. No puedo acertar de ninguna forma.

Sue: Papi, me gustaría un deportivo rojo. ¡Y con asientos anatómicos!

La paradoja del Quijote

En la novela Don Quijote se nos cuenta de una isla donde regía una curiosa ley.

Un guardia pregunta a cada visitante:

Guardia: ¿Para qué viene usted aquí?

Si el viajero contesta con verdad, todo va bien. Pero si dice mentida es ahorcado allí mismo.

Un día, un visitante contestó:

Visitante: ¡He venido aquí para ser ahorcado!

Los guardias quedaron perplejos como el cocodrilo. Si no ahorcasen al sujeto, este habría mentido, y por ello debería ser ahorcado. Pero si lo ahorcan, habrá dicho la verdad, y no debería se ajusticiado.

Para decidir la cuestión, el visitante fue llevado ante el gobernador de la isla. Tras pensarlo largamente, el gobernados tomó una resolución:

Gobernador: Decida lo que decida tendré que vulnerar la ley. Así pues, seré clemente y dejaré a este inocente.

La paradoja queda oscurecida por la ambigüedad de la declaración del visitante. En efecto, ¿está manifestando su intención, o está hablando de un suceso futuro?. En el primer sentido, el hombre pudo haber dicho la verdad respecto a su intención, y las autoridades podrían no ahorcarlo sin contradecir la ley. Por otra parte, tomada su afirmación en el segundo sentido, cualquier cosa que hagan las autoridades será una contradicción.

Las paradojas de Zenón

Los antiguos griegos idearon muchas paradojas concernientes al tiempo y al movimiento. Jugando con el significado equívoco de conceptos como el infinito y el infinito, Zenón de Elea, que vivió aproximadamente entre el 495 y el 435 a. de C. formuló algunas paradojas, una de las más famosas fue la propuesta por Zenón acerca de un corredor.

La paradoja de la dicotomía o de la bipartición de las distancias

El corredor de Zenón razonaba así:

Corredor: Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. ¡Nunca podré alcanzar la meta!

Para poner un ejemplo más concreto del razonamiento de Zenón, supongamos que un corredor de maratón A tenga que recorrer la distancia BC, sometida a un número infinito de subdivisiones, en un tiempo finito; ésta es, evidentemente, una suposición absurda porque ¡no es posible recorrer un espacio compuesto de elementos infinitos en un lapso de tiempo finito! Por consiguiente, el movimiento es imposible, aunque la experiencia común nos diga lo contrario.

Aquiles pies ligeros y la tortuga

Otra famosa paradoja ideada por Zenón es la paradoja de Aquiles. En este caso el guerrero quería alcanzar a una tortuga distante 1 Km.

Cuando Aquiles llega al lugar que ocupaba la tortuga, ésta ha avanzado 10 metros más. Pero cuando Aquiles recorre estos 10 metros, la tortuga ha vuelto a avanzar un poco más.

Tortuga: Nunca podrás cogerme, viejo. ¡Cada vez que llegues al último lugar donde estuve, yo estaré siempre un poco más adelante, aunque sea la mitad de un pelo!.

Zenón sabía, desde luego, que Aquiles podía alcanzar a la tortuga. Lo que hacía era, simplemente, hacer ver las paradójicas consecuencias de imaginar el espacio y el tiempo formados por una sucesión infinita de puntos e instantes individuales consecutivos, como las cuentas de un collar.

La paradoja de la flecha

El tercer argumento es el de la flecha. La flecha ocupa siempre un espacio determinado y, como tal, está siempre quieta, en cualquier instante. Para poderse mover debería estar el mismo tiempo dentro y fuera de su espacio; pero una suma de estados no da movimiento. Por consiguiente ¡El movimiento es imposible!

La paradoja del estadio

La cuarta y última de las paradojas de Zenón es la paradoja del estadio, y, tal vez, es la más difícil de exponer:

Dos filas de igual numero de soldados (B B B B y C C C C) parten de los extremos de un estadio en dirección al centro (la tribuna formada por A A A A) a la misma velocidad. Se paran cuando estén alineados. El primer soldado B recorre un espacio igual a dos A, pero, en el mismo tiempo, el primer soldado C recorre cuatro soldados B. Dado que los tamaños de A, B y C son iguales, se concluye que la velocidad de los soldados C es doble que la de los soldados B, y habíamos dicho que la velocidad era la misma.

A A A A
B B B B ----->
<------ C C C C

Regresión infinita

  • ¿Qué fue antes, el huevo o la gallina?
  • ¿La gallina? No, pues tuvo que hacer un huevo empollando.
  • ¿El huevo? No, una gallina tuvo que poner antes el huevo.

La clásica paradoja del huevo y la gallina es seguramente el más conocido ejemplo de regresión infinita como se la conoce en lógica.

Jonathan Swift describió en un poema una regresión infinita de pulgas, poema que el matemático August de Morgan recompuso así:

Las pulgas grandes
a lomos cargan pulguitas,
quienes las pican.
Y las pulguitas
transportan a otras menores,
al infinitum.

Y las más grandes van a su vez
a cuestas de otras mayores,
y éstas,
aún cabalgan sobre otras,
y así una vez y otra.

Una pregunta, concerniente a la regresión infinita, que seguramente no costará de contestar es:

  • ¿Es nuestro universo, en su continua expansión, todo cuanto existe, o es sólo parte de un sistema más vasto todavía, del que nada sabemos?

Paradoja del cartero o de Russell

Dentro del grupo de paradojas lógicas nos encontraos esta conocida paradoja del tipo "Si sí, entonces no; si no, entonces sí" y constituye una vulgarización de la famosa paradoja de Russell.

Es el caso de un cartero y un barbero de una cierta pequeña ciudad. El cartero tiene la misión de llevar el correo a aquellos que no lo retiren por sí mismos de Correos; de la misma forma, el único barbero existente tiene la misión de afeitar a todos los vecinos de la villa que no se afeiten a sí mismos..

Un buen día, el barbero le dice al cartero: - Por disposición municipal yo puedo afeitar a aquellos habitantes que no se afeiten por sí mismos, por lo que tengo un problema conmigo mismo: si me afeito a mi mismo, entonces, respetando la decisión municipal, no puedo afeitarme, pero si no me afeito sí que puedo afeitarme. Pero si me afeito... En resumen, no se si afeitarme o no.

- Mi situación es aún más complicada - respondió el cartero -Yo solo puedo llevar las cartas a aquellos que no van a la oficina de correos a recogerlas. Y entonces, ¿Qué tengo que hacer con la correspondencia dirigida a mi mismo? Si soy yo mismo el que la retiro, entonces se supone que no me la puedo entregar. Pero si no la retiro, se supone que sí me la puedo entregar.

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